Modeling and Statistical Inference of a System Degrading According to a Gamma Process
Modélisation et inférence statistique d'un système se dégradant selon un processus gamma
Résumé
The gamma process is known for its power to capture the temporal variability of deterioration over time. It is one of the most popular stochastic processes in reliability theory. The power law is the most common non-linear shape function for modeling degradation by the gamma process. Also, two classical estimation methods, namely the maximum likelihood method and the method of moments, have been developed in various applications of the gamma process as a degradation model. However, while some studies assumed that the exponent of the power law is known and modeled a non-homogeneous gamma process, others only considered the homogeneous gamma process. Also, the asymptotic properties of these estimators are not often studied. In particular, the maximum likelihood method. In this study, we modeled degradation by both the homogeneous and non-homogeneous gamma processes with a power law shape function. For each model, we considered two methods of parameter estimations, precisely the maximum likelihood method and the method of moments. Furthermore, we provided the theoretical and numerical results of these estimators for different sets of observations and parameters. We have shown that the estimates of the parameters are better with the maximum likelihood method than the method of moments. Further, the maximum likelihood estimator is asymptotically unbiased, consistent, and efficient, which validates the theoretical results. Also, initializing the maximum likelihood estimator with the estimates of the method of moments improves the quality of the estimates, depending on the coefficient as well as the convexity of the shape function}. Lastly, the convexity of the shape function also influences the quality of the estimates. To be more precise, the estimates are better for concave and convex shape functions than for a linear one.
Le processus gamma est connu pour son pouvoir de capturer la variabilité temporelle de la détérioration dans le temps. C'est l'un des processus stochastiques les plus populaires en théorie de la fiabilité. La loi de puissance est la fonction de forme non linéaire la plus courante pour modéliser la dégradation par le processus gamma. En outre, deux méthodes d'estimation classiques, à savoir la méthode du maximum de vraisemblance et la méthode des moments, ont été développées dans diverses applications du processus gamma comme modèle de dégradation. Cependant, alors que certaines études supposent que l'exposant de la loi de puissance est connu et modélisent un processus gamma non homogène, d'autres ne considèrent que le processus gamma homogène. De plus, les propriétés asymptotiques de ces estimateurs ne sont pas souvent étudiées. En particulier, la méthode du maximum de vraisemblance. Dans cette étude, nous avons modélisé la dégradation par les processus gamma homogènes et non homogènes avec une fonction de forme de loi de puissance. Pour chaque modèle, nous avons considéré deux méthodes d'estimation des paramètres, précisément la méthode du maximum de vraisemblance et la méthode des moments. De plus, nous avons fourni les résultats théoriques et numériques de ces estimateurs pour différents ensembles d'observations et de paramètres. Nous avons montré que les estimations des paramètres sont meilleures avec la méthode du maximum de vraisemblance qu'avec la méthode des moments. De plus, l'estimateur du maximum de vraisemblance est asymptotiquement sans biais, cohérent et efficace, ce qui valide les résultats théoriques. De plus, l'initialisation de l'estimateur du maximum de vraisemblance avec les estimations de la méthode des moments améliore la qualité des estimations, en fonction du coefficient ainsi que de la convexité de la fonction de forme}. Enfin, la convexité de la fonction de forme influe également sur la qualité des estimations. Pour être plus précis, les estimations sont meilleures pour les fonctions de forme concave et convexe que pour une fonction linéaire.
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